Über Mupad
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Über MuPAD

MuPAD ist ein Computeralgebrasystem, mit dem man symbolische und numerische Berechnungen durchführen kann. Genaueres über symbolisches Rechnen und die von MuPAD bereitgestellten Funktionen finden Sie weiter unten im Abschnitt Beispielberechnungen mit MuPAD.

Allgemeines zur Nutzung von MuPAD auf diesen WWW-Seiten

Die volle Funktionalität von MuPAD kann man nur dann nutzen, wenn man im Besitz einer Lizenz des aktuellen MuPAD Pro 2.5 ist. Software und Lizenz kann man bei der in Paderborn ansässigen Firma SciFace erwerben (siehe www.mupad.de oder www.sciface.com). Über das Internet kann man von dort eine 30-Tage-Testversion herunterladen sowie die kostenlose Software MuPAD Light, die allerdings nicht den vollen Funktionsumfang bietet.

In den Lektionen und der MuPAD-Ecke der hier vorgestellten WWW-Seiten sind Möglichkeiten eingebunden, zahlreiche MuPAD-Funktionen aus Ihrem WWW-Browser heraus durch Zugriff auf einen MuPAD-Server zu nutzen – Sie müssen also weder Software installieren noch eine Lizenz erwerben. Der Zugriff erfolgt dabei entweder über MuPAD-Formulare, die auch schon in den Lektionen verwendet werden, oder ein MuPAD-Sitzungsfenster, welches erst in der MuPAD-Ecke angeboten wird.

Das MuPAD-Sitzungsfenster kann alle MuPAD-Befehle verarbeiten, deren Rechenergebnis eine Zeichenfolge ("String") ist; es kann also keine Funktionsbilder zurückliefern, obwohl eine lokal installierte Version von MuPAD dies selbstverständlich könnte.

Besonderheiten bei der Bedienung von MuPAD

Wie bei Taschenrechnern sind auch bei Computeralgebrasystemen immer irgendwelche Besonderheiten bei der Eingabe mathematischer Befehle zu beachten.

Beispielsweise muss bei MuPAD der Ausdruck

als "E^x" oder auch "exp(x)" eingegeben werden. (In den Funktionsplotter-Applets, die in den Lektionen verwendet werden, ist auch die Eingabe "e^x" möglich.)

wird wie üblich als "2^x" eingegeben.

Der Logarithmus von x zur Basis b wird in MuPAD als

"log(b,x)"

aufgerufen. Als Besonderheit ist "ln(x)" für den natürlichen Logarithmus (also zur Basis e) möglich.

Sollte es Probleme mit der Eingabesyntax geben, so können Sie die MuPAD-Hilfefunktionen nutzen.

Beispielberechnungen mit MuPAD

In diesem Abschnitt werden anhand von Beispielen einige Funktionen von MuPAD vorgestellt, die indiesem Kurs angewendet werden. MuPAD bietet darüber hinaus einen viel größeren Funktionsumfang, wie Möglichkeiten zur Programmierung (z.B. um mathematische Experimente zu realisieren) und die grafische Ausgabe von Funktionen. Wir beschränken uns hier jedoch auf die für diesen Kurs relevanten Anwendungen.

Die Beispiele sollen unter anderem die Mächtigkeit von MuPAD und die Vorteile gegenüber einfachen Taschenrechnern demonstrieren, die sich vor allem durch die symbolische Berechnungskraft des Computeralgebrasystems ergeben. Außerdem bietet sich Ihnen die Gelegenheit, den Umgang mit MuPAD kennen zu lernen. Lassen Sie sich nicht durch die vielleicht ungewohnten Kommandos abschrecken, die in den Beispielen verwendet werden. Wenn Sie bei der Bearbeitung dieses Kurses Aufgaben mit Hilfe von MuPAD lösen sollen, werden vorher alle benötigten Befehle erklärt.

Zu den von MuPAD unterstützten Funktionen gehören:
  • symbolisches Rechnen,
  • beliebig genaues Rechnen,
  • Rechnen mit beliebig großen Zahlen,
  • Rechnen mit Variablen,
  • und das Lösen von Gleichungsystemen.

Symbolisches Rechnen

Symbolisches Rechnen bedeutet Rechnen mit exakten Zahlendarstellungen, d.h. im Gegensatz zur Numerik können keine Rundungsfehler auftreten. Zum Beispiel liefert ihr Taschenrechner als Ergebnis für Wurzel aus 2 folgenden Wert 
               1.414213562
Dabei können sich Rundungsfehler ergeben, wie wir sehen: 
>> 1.414213562 ^ 2;
               1.999999999
MuPAD dagegen rechnet durch die symbolische Darstellung der Zahlen exakt: 
>> sqrt(2) ^ 2;
               2
 
Das nebenstehenden Bild ist ein Ausschnitt aus einem MuPAD-Sitzungsfenster, in dem weitere Beispiele für symbolische Berechnungen eingegeben wurden.

Beliebig genaues Rechnen

Symbolisches Rechnen ermöglicht auch beliebig genaue numerische Berechnungen, d.h. die Anzahl der Stellen ist nur durch den zur Verfügung stehenden Speicherplatz (und die Rechenzeit) begrenzt. Während ein gewöhnlicher Taschenrechner mit 10 bis 13 Stellen arbeitet, rechnet MuPAD auf Wunsch mit 1000 Stellen und mehr.

Als Beispiel lassen wir uns die ersten 1000 Stellen der Kreiszahl Pi anzeigen. (Es sind auch 10000 und mehr möglich!)

>> DIGITS:= 1000:
>> float(PI);

3.14159265358979323846264338327950288419716939937\
5105820974944592307816406286208998628034825342117\
0679821480865132823066470938446095505822317253594\
0812848111745028410270193852110555964462294895493\
0381964428810975665933446128475648233786783165271\
2019091456485669234603486104543266482133936072602\
4914127372458700660631558817488152092096282925409\
1715364367892590360011330530548820466521384146951\
9415116094330572703657595919530921861173819326117\
9310511854807446237996274956735188575272489122793\
8183011949129833673362440656643086021394946395224\
7371907021798609437027705392171762931767523846748\
1846766940513200056812714526356082778577134275778\
9609173637178721468440901224953430146549585371050\
7922796892589235420199561121290219608640344181598\
1362977477130996051870721134999999837297804995105\
9731732816096318595024459455346908302642522308253\
3446850352619311881710100031378387528865875332083\
8142061717766914730359825349042875546873115956286\
3882353787593751957781857780532171226806613001927\
876611195909216420199

Rechnen mit beliebig großen Zahlen

Als Beispiel hierfür soll uns die Fakultät einer Zahl dienen, die folgendermaßen definiert ist: 
1! = 1
2! = 1 * 2
3! = 1 * 2 * 3 
4! = 1 * 2 * 3 * 4
usw.
Beispiele: 
5!  = 720
10! = 3628800
12! = 479001600
Ein Taschenrechner berechnet die Fakultät für kleine Zahlen - aber unter Umständen auch nur ungenau, denn für 200! wird folgender Wert berechnet: 
               7.886578674 * 10^374
Das exakte Ergebnis ist aber: 
200! = 

7886578673647905035523632139321850622951359776871\
7326329474253324435944996340334292030428401198462\
3904177212138919638830257642790242637105061926624\
9528299311134628572707633172373969889439224456214\
5166424025403329186413122742829485327752424240757\
3903240321257405579568660226031904170324062351700\
8587961789222227896237038973747200000000000000000\
00000000000000000000000000000000
Wir berechnen die Abweichung: 
>> 7.886578674 * 10^374 - 200!
               3.520949643 * 10^364
MuPAD kann mit sehr viel größeren als den hier verwendeten Zahlen umgehen. Um das zu demonstrieren lassen wir uns die Anzahl der Stellen ausgeben, die das Ergebnis von 10000! hat: 
>> length (10000!);
               35660

Rechnen mit Variablen und Lösen von Gleichungssystemen

MuPAD ermöglicht außerdem das Rechnen mit Variablen und das Ausmultiplizieren und Faktorisieren algebraischer Ausdrücke. Betrachten wir beispielsweise die binomischen Formeln: 
>> expand ( (a+b)^2 );
                        2    2
               2 a b + a  + b

>> factor (x^2 + 2*x -3);
               (x + 3) (x - 1)
Außerdem kann man mit MuPAD Funktionen ableiten, d.h. ihre Steigung bestimmen. Diese Funktion wird beispielsweise in den MuPAD-Formularen in der Lektion über Differenzialrechnung verwendet. 
>> f := x^2;
                2
               x
>> diff (f,x);
               2 x
Abschließend noch ein Beispiel für die Lösung eines Gleichungssystems mit der Hilfe von MuPAD: 
 
>> solve( x^2 + p*x + q = 0, x);
>> 
        {         2       1/2    2       1/2     }
        {   p   (p  - 4 q)     (p  - 4 q)      p }
        { - - - -------------, ------------- - - }
        {   2         2              2         2 }